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연립방정식 안녕하세요. 연립방정식 풀다가 궁금한 게 생겨 질문 남깁니다. 연립방정식 y^2+2xy-3y=0,

안녕하세요. 연립방정식 풀다가 궁금한 게 생겨 질문 남깁니다. 연립방정식 y^2+2xy-3y=0, x^2+2xy-3x=0 이 있습니다. 첫 번째 식에서 2xy=3y-y^2라는 식을 얻을 수 있는데 그 2xy를 두 번째 식에 대입을 하면 x^2+(3y-y^2)-3x=0 이고 이를 인수분해 하면 (x-y)(x+y-3)=0이 됩니다. 그러므로 x=y or x+y=3 이 답인 줄 알았고 이를 만족하는 모든 순서쌍 (x,y)는 저 연립방정식의 해가 된다고 하였습니다. 하지만 답은 (0,0),(3,0),(0,3),(1,1) 뿐이었습니다. 실제로 (2,2)같은 걸 대입하면 성립하지 않았죠. 2xy=3y-y^2를 두번째 식에 대입하면서 첫번째, 두번째 모두 만족하는 등식이 된 것 아닌가요? 근데 왜 답은 저 4개 뿐이죠? 해설지 풀이는 저도 압니다. 하지만 왜 제 풀이가 틀렸는지 설명해주시면 감사하겠습니다. 그리고 연립일차방정식 외에 저런 연립방정식은 일반화된 풀이 방법이 없나요?

주어진 연립방정식:

  1. y2+2xy−3y=0

  2. x2+2xy−3x=0

님의 풀이 과정에서 왜 오답이 나왔는지부터 정확히 설명해 드릴게요.

1. 님의 풀이 과정이 틀린 이유: 핵심은 '동치 변형'

님이 첫 번째 식에서 2xy=3y−y2 를 얻어 이를 두 번째 식에 대입한 것은 '동치 변형'이 아니기 때문입니다.

  • 동치 변형이란? 어떤 식을 변형했을 때, 변형 전의 식과 변형 후의 식이 완전히 동일한 해집합을 가지는 것을 의미합니다. 즉, 변형 전의 식을 만족하는 모든 해가 변형 후의 식도 만족하고, 그 역도 성립해야 합니다.

님의 풀이에서 2xy=3y−y2 를 두 번째 식에 대입하는 순간, 첫 번째 식의 조건이 사라집니다. 님이 대입한 결과인 (x−y)(x+y−3)=0 이라는 식은 **"두 번째 식에, 첫 번째 식의 2xy와 같은 값을 가지는 3y−y2을 대입한 결과"**일 뿐입니다. 이 식 자체만으로는 원래 첫 번째 식 y2+2xy−3y=0이 만족된다는 보장이 없습니다.

다시 말해, (x−y)(x+y−3)=0 을 만족하는 (x,y) 중에서 원래의 첫 번째 식 y2+2xy−3y=0을 만족하지 않는 순서쌍이 있을 수 있다는 뜻입니다.

예시: (2,2)를 대입해보면 왜 틀렸는지 명확해집니다.

  • (2,2)는 님이 구한 (x−y)(x+y−3)=0 중 x=y 조건(여기서는 x=2,y=2)을 만족합니다.

  • 첫 번째 식 y2+2xy−3y=0 에 (2,2)를 대입: 22+2(2)(2)−3(2)=4+8−6=6=0 즉, (2,2)는 첫 번째 식을 만족하지 않습니다.

  • 두 번째 식 x2+2xy−3x=0 에 (2,2)를 대입: 22+2(2)(2)−3(2)=4+8−6=6=0 즉, (2,2)는 두 번째 식도 만족하지 않습니다.

님은 2xy라는 값을 통해 두 식을 연결했지만, 이 연결은 **'2xy 값이 두 식에서 같다면'**이라는 전제 하에 유효한 변형입니다. 그런데 실제로 2xy가 같은 값을 가지려면 두 식 모두가 0이 되어야 합니다. 님의 대입 과정은 (x,y)가 두 식을 동시에 0으로 만드는 해가 아니라, 단순히 2xy 자리에 다른 값을 넣어서 하나의 새로운 방정식만 만든 것에 불과합니다.

따라서 님의 풀이는 "주어진 두 연립방정식을 모두 만족하는 해"를 찾는 것이 아니라, "두 번째 방정식의 2xy 부분에 첫 번째 방정식의 2xy와 동등한 식을 대입하여 만들어진 새로운 단일 방정식의 해"를 찾은 것이 됩니다.

2. 올바른 풀이 방법

연립방정식을 푸는 가장 일반적인 방법은 두 식을 빼거나 더하여 차수를 낮추거나 변수를 소거하는 것입니다.

  1. y2+2xy−3y=0 --- (1)

  2. x2+2xy−3x=0 --- (2)

(1) - (2) 를 합니다. (y2+2xy−3y)−(x2+2xy−3x)=0−0 y2−x2−3y+3x=0 (y−x)(y+x)−3(y−x)=0 (y−x)(y+x−3)=0

여기서 두 가지 경우를 얻습니다. Case 1: y−x=0⟹y=x Case 2: y+x−3=0⟹y=3−x

이제 각 Case를 원래의 식 (둘 중 아무거나)에 대입하여 해를 찾습니다.

Case 1: y=x 를 (1)식에 대입 x2+2x(x)−3x=0 x2+2x2−3x=0 3x2−3x=0 3x(x−1)=0 x=0 또는 x=1

  • x=0 이면 y=0 이므로 (0,0)

  • x=1 이면 y=1 이므로 (1,1)

Case 2: y=3−x 를 (1)식에 대입 (3−x)2+2x(3−x)−3(3−x)=0 (9−6x+x2)+(6x−2x2)−(9−3x)=0 9−6x+x2+6x−2x2−9+3x=0 −x2+3x=0 −x(x−3)=0 x=0 또는 x=3

  • x=0 이면 y=3−0=3 이므로 (0,3)

  • x=3 이면 y=3−3=0 이므로 (3,0)

따라서 모든 해는 (0,0), (1,1), (0,3), (3,0) 입니다.

3. 연립일차방정식 외의 일반화된 풀이 방법

연립일차방정식은 가감법(소거법), 대입법, 그래프법, 행렬식(크래머 공식) 등 비교적 명확하고 일반화된 풀이 방법이 존재합니다.

하지만 **2차 이상의 비선형 연립방정식 (님의 문제처럼 x2,y2,xy 항이 있는 경우)**은 일반화된 풀이 방법이 거의 없습니다. 즉, 특정 공식처럼 '이 문제는 무조건 이렇게 푼다'는 것은 없습니다.

일반적으로 다음과 같은 전략들을 조합하여 풀어야 합니다.

  • 소거법 (가감법): 두 식을 더하거나 빼서 차수를 낮추거나 변수를 소거합니다. (님의 문제에서 가장 효과적이었던 방법)

  • 대입법: 한 식을 한 변수에 대해 정리한 후 다른 식에 대입합니다. (님의 풀이처럼 특정 항을 대입하는 것도 이 범주에 속하지만, '동치 변형'이 중요)

  • 인수분해: 각 식을 인수분해하여 해의 후보들을 찾고, 다른 식에 대입하여 검증합니다.

  • 변수 치환: 공통으로 나타나는 복잡한 항을 새로운 문자로 치환하여 식을 단순화합니다.

  • 특별한 형태: 대칭식, 동차식 등 특정한 형태의 연립방정식은 그 형태에 맞는 풀이법이 있습니다.

  • 대칭식: x,y를 바꾸어도 식이 동일한 형태 (예: x+y=a,xy=b)는 t2−(x+y)t+xy=0 과 같은 이차방정식을 활용합니다.

  • 동차식: 모든 항의 차수가 같은 경우 (예: x2−2xy+y2=0)는 y=kx 등으로 치환하여 풀기도 합니다. 님의 문제도 (y−x)(y+x−3)=0 이라는 동차항 위주의 인수분해 결과가 나옵니다.

결론적으로, 비선형 연립방정식은 문제의 형태를 보고 가장 적절한 전략을 선택하고, 여러 방법을 시도해 보는 '종합적인 접근'이 필요합니다. 정해진 '마법의 공식'은 없으며, 다양한 유형의 문제를 풀어보면서 직관과 노하우를 기르는 것이 중요합니다.

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